Aritmética del Reloj
Uno de los métodos clásicos de llave simétrica: el cifrado de César.
Una de las características, y a la vez inconvenientes, de este tipo de cifrado es que la seguridad reside en la clave. Si por cualquier razón se descubre la clave basta con calcular la inversa para que cualquier persona pueda descifrar un mensaje aunque no vaya dirigido a él. Además si una persona necesita comunicarse de forma confidencial con bastantes personas el número de claves que necesita es muy grande. Hagamos un pequeño cálculo: Si 6 personas se quieren comunicar entre sí con un método simétrico, pero de forma que sólo puedan descifrar los mensajes por parejas. ¿Cuántas claves necesitan? Cada pareja debe seleccionar una clave diferente. ¿Cuántas parejas hay? El número de claves coincide con las diferentes formas de hacer parejas entre 6 personas, y esto es un problema de combinatoria muy fácil
1. ¿Y si en lugar de 6 hay n parejas? _______________________
¿Puedes hacer un cálculo para conocer el número de claves para 1000 personas?_______________
¿Y para 10000? _______________
¿Y para 100000? _______________
Estas cantidades te hacen una idea de la cantidad de claves diferentes que se necesitarían. Por eso han surgido otros métodos de cifrado que reciben el nombre de sistemas de clave pública que evitan este problema. Pero para estar al tanto el funcionamiento de estos sistemas es necesario conocer algunos resultados de teoría de números (una de las ramas de las matemáticas más antiguas pero a su vez muy actual)
Algunos de estos resultados están relacionados con la Aritmética del reloj. No pienses que esta iniciativa es actual. Una de las primeras contribuciones del matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue la invención de la calculadora del reloj. No era una máquina material (no olvides las fechas en que vivió Gauss), era más bien una idea que aportaba nuevas posibilidades para hacer determinadas operaciones con números eran inabordables con los métodos de cálculo que se manejaban en esa época. Seguro que estás habituado a representar los números enteros como marcas dispuestas a lo largo de una línea recta que se extiende hasta el infinito:
La aritmética que conoces se puede imaginar en términos de desplazamientos a derecha o izquierda a lo largo de esta recta. Ahora vas a trabajar con otra aritmética que intuitivamente lo que hace es cortar la recta en determinado punto obteniendo de esta forma un segmento (finito) y cerrar esta línea sobre sí misma para formar un círculo de números en vez de una línea.
Pero en la aritmética del reloj se trabaja de otra forma, por ejemplo para el reloj 1: 5 + 4 = 2 (si empezamos en el 5 y avanzamos 4 lugares en la esfera del reloj llegamos al 2). No es rara esta forma de contar, la usamos en los relojes para indicar las horas. Si ahora son las 11 de la mañana para referirnos a 4 horas más tarde no es habitual que digamos la hora 15 sino que se suele decir que serán las 3 de la tarde. El reloj es muy parecido a nuestro reloj 2 pero nosotros empezamos a contar en 0 y acabamos en 11. Esta similitud es probablemente la causa del nombre de aritmética del reloj. En ámbitos más teóricos de las Matemáticas recibe el nombre de Aritmética modular. Igual que hemos trabajado con la adición podemos también representar el producto. ¿Cómo interpretamos en el reloj 2 la operación: 5 x 7? En aritmética habitual el resultado sería 35 pero esta hora no existe en nuestro reloj. Pero si meditas un poco ¿qué significa que transcurren 35 horas?: empezando a contar en 0, en la primera vuelta del reloj habrán pasado 12 horas, en una segunda vuelta otras 12 y así sucesivamente, es decir para 35 se dan 2 vueltas completas al reloj (24 horas) y aún quedan por recorrer 11 horas, por eso decimos que en esta aritmética 5 × 7 = 11 Aritmética del reloj
Para multiplicar estos dos números no se han dado demasiadas vueltas pero si se van a multiplicar números grandes el método que acabamos de describir puede ser muy aburrido. Sin embargo existe otra operación que aprendiste en tus primeros años de formación matemática que te va a ayudar en este trabajo. Si ahora son las 12 en punto, ¿qué hora será cuando transcurran 357 horas? Debes averiguar el número de vueltas completas y caso de que sobren las que se recorren en la última vuelta.
¿Cómo dar el resultado de forma rápida? ¡Pues claro, dividiendo 357 entre 12! El cociente de la división (29) te indica el número de vueltas completas y el resto de la división (8) las horas de la última vuelta. Por eso la respuesta a la pregunta será 8 horas.
Para familiarizarte con estas operaciones usa los relojes del maletín del espía (discos 3 a 6) y piensa que hora indicará el reloj si han transcurrido las horas indicadas en la primera fila de las tablas:
Reloj de 7 horas
Esto mismo se puede hacer para un valor cualquiera n y se suele decir que se trabaja módulo n (recuerda que se llama aritmética modular). Para un valor n determinado, podemos considerar el conjunto A= {posibles horas que se pueden presentar} = {0, 1, 2,…, n–1}
Vamos a reflexionar un poco más sobre la forma de operar en estos conjuntos y las ventajas que tienen. Para saber el valor de n con el que se trabaja se indica (modo n), por ejemplo para el reloj 1 3 + 3 ≡ 6 (modo 7)
También usaremos esta representación para el producto: 6 × 6 ≡1 (modo 7) (se han dado 5 vueltas completas y queda 1 hora)
Practica un poco con la suma:
4 + 6 ≡ (modo 7) –4 + 6 ≡ (modo 7) 8 + 9 + 2 ≡ (modo 7)
9 + 11 ≡ (modo 12) 9 + (–11) ≡ (modo 12) 23 + 79 + 11 ≡ (modo 12)
Y ahora con el producto:
4 × 6 ≡ (modo 7) (- 4) × 6 ≡ (modo 7) 8 × 9 × 2 ≡ (modo 7)
9 × 11 ≡ (modo 12) 9 × (–11) ≡ (modo 12) 23 × 79 × 11 ≡ (modo 12)
¿Crees que se puede dividir en estos conjuntos? Aunque trabajemos con el conjunto de los números enteros esta pregunta no siempre tiene respuesta afirmativa. Por ejemplo en el conjunto de los números enteros no puedes dividir 5 entre 2 mientras que si puedes dividir 8 entre 2. Aritmética del reloj
¿Has oído alguna vez que la división es la operación inversa de la multiplicación? Esto quiere decir que = × = 8 1 8 2 4 4 (dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso del denominador) pero ya sabemos que no siempre es posible encontrar este inverso.
Cuando los valores de n no son demasiado grandes resulta interesante reflejar los resultados de las dos operaciones suma y producto en una tabla. Completa las dos tablas siguientes:
Te vamos a proponer un pequeño ejercicio: ¿puedes calcular los inversos de los valores 1 a 6 para un reloj de 7 horas. Intenta utilizar la tabla anterior para rellenar la siguiente: número 0 1 2 3 4 5 6 inverso
Piensa lo mismo para el reloj de 12 horas: número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 inverso
¿Y para uno de 5 horas? número 0 1 2 3 4 inverso
¿Y de 6? Número 0 1 2 3 4 5 inverso
¿Sabrías decir cuando un número cualquiera a tiene inverso módulo n?
Vamos a trabajar ahora con potencias,
¿Y si ahora queremos calcular 63 = 6 × 6 × 6 en el mismo conjunto? Una posibilidad es multiplicar estos valores y calcular el resto de la división entre 7, pero ¿se te ocurre otra idea más cómoda? 6 × 6 × 6 ≡ (6 × 6) × 6 ≡ 1 × 6 ≡ 6 (modo 7) Aritmética del reloj
Hemos deducido el resultado sin necesidad de multiplicar 6 × 6 × 6. Esta fue la idea que tuvo Gauss: podía saber, sin gran esfuerzo, que el resultado de esta operación daba de resto 6 al dividirlo por 7.
Piensa el resultado y explica la forma de usar el cálculo de uno de estos valores para el siguiente.
6 × 6 × 6 × 6 ≡ (modo 7) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 ≡ (modo 7)
6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 ≡ (modo 7) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 ≡ (modo 7)
La calculadora del reloj demostró que era muy potente para trabajar con grandes números. Por ejemplo, sin tener que calcular el valor de 699 su calculadora de reloj le permitía calcular que era 6 el resto de la división entre 7. ¿Puedes explicar cómo se llega a este resultado?
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Los estudios de Gauss sobre este nuevo tipo de aritmética revolucionaron la matemática de principios del siglo XIX y ayudaron a descubrir nuevas estructuras en los números. Actualmente está aritmética es necesaria para garantizar la seguridad en Internet donde se usan valores de n muy grandes, por ejemplo serían mayores que el número de átomos que existen en el mundo que nosotros podemos observar. Vamos a trabajar un poco más con potencias para el reloj de 7 horas, es decir modo 7, aunque en la tabla se omite la notación todas las potencias las debes calcular con nuestro reloj
Ya Gauss había usado esta propiedad para trabajar con números grandes pero incluso antes que él, otro matemático francés, Pierre de Fermat (1601-1655) había hecho un gran descubrimiento, el pequeño teorema de Fermat trabajando con relojes que tuvieran un número primo de horas, que vamos a representar por p. Para estos relojes, igual que ha pasado en nuestro ejemplo, para cualquier hora a, al calcular p siempre da por resultado el propio valor a. Para p = 5, al calcular las diferentes potencias se obtiene 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1… de forma iterativa, pero si p=13 sale 3, 9, 1, 3, 9, 1, 3, 9, 1… la aguja del reloj no se detiene en todas las horas pero lo hace siguiendo un modelo iterativo. Usando la notación de Gauss el pequeño teorema de
Fermat lo podemos expresar: para cualquier número primo p y cualquier valor a sobre la esfera del reloj de p horas a
Posteriormente, otro gran matemático el suizo Leonard Euler (1707-1783), generalizó el resultado de Fermat para relojes de N horas con la peculiaridad de que N=p × q siendo p y q dos números primos.
Estos dos resultados encontraron aplicación posteriormente cuando en 1978, Ron Rivest, Adif
Shamir y Leen Adleman los rescataron para idear un sistema criptográfico, conocido por RSA en su honor, y que quizás sea el cifrado de clave público más extendido. Si quieres saber más sobre este tema, puedes acudir a la sección para saber más.