La posibilidad de realizar predicciones a partir de la recolección y la organización de la información, el descubrimiento de que existen leyes que rigen y explican los fenómenos que dependen del azar, como el resultado de un juego de dados o de cartas, son características que hacen de la estadística y la probabilidad elementos sumamente especiales de la ciencia matemática.
A lo largo de estos videos usted encontrará la respuesta a preguntas tales como ¿Puede la estadística ayudarnos a comprender mejor la información y los gráficos que aparecen en los medios de comunicación? ¿Qué significa un promedio? ¿Qué relación existe entre estadística y probabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de ganar que tenemos en un juego determinado?
Familiarizarse con las formas propias de esta rama de la Matemática, para resolver problemas le permitirán desarrollar su creatividad e incentivarán su capacidad de enfrentar variedad de situaciones.
Muchas veces escuchamos que para aprender Matemática es necesario resolver problemas. ¡No se detenga! y no se desaliente si al comienzo algunos le resultan difíciles. Un continuo “ir y volver” entre las explicaciones y las claves de corrección, lo estimulará y lo ayudará a ir ganando confianza.
HISTORIA
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA?
La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas:
La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.
La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos.
De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.
PROBABILIDAD
En este sentido, el cálculo científico de probabilidades puede ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada "paradoja de los cumpleaños". Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble (Paradoja del Cumpleaños »). No es de extrañar por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las finanzas.
ESTADÍSTICA
Cuando hablamos de estadística, se suele pensar en un conjunto de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es debida a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de comunicación, periódico, radio, televisión, etc., no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística.
Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, ... empezamos a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes cetemistas.
La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos (Estadística Descriptiva), siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones (Estadística Inferencial).
Historia de la Probabilidad
En cuanto al concepto en sí, la probabilidad y el azar siempre ha estado en la mente del ser humano. Por ejemplo:
Sumerios y Asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de los dados.
En el caso de la civilización egipcia, algunas pinturas encontradas en las tumbas de los faraones muestran tanto astrágalos como tableros para el registro de los resultados.
Por su parte, los juegos con dados se practicaron ininterrumpidamente desde los tiempos del Imperio Romano hasta el Renacimiento, aunque no se conoce apenas las reglas con las que jugaban. Uno de estos juegos, denominado "hazard", palabra que en inglés y francés significa riesgo o peligro, fue introducido en Europa con la Tercera Cruzada. Las raíces etimológicas del término provienen de la palabra árabe "al-azar", que significa "dado". Posteriormente, en el "Purgatorio" de Dante el término aparece ya como "azar".
En la actualidad, ruletas, máquinas tragaperras, loterías, quinielas,..., nos indican que dicha fascinación del hombre por el juego, continúa.
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise Pascal » tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.
Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre
Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.
A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales
Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.
Historia de la Estadística
La palabra Estadística procede del vocablo “Estado”, pues era función principal de los Gobiernos de los Estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, cosechas... La necesidad de poseer datos cifrados sobre la población y sus condiciones materiales de existencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron sociedades humanas organizadas.
Es difícil conocer los orígenes de la Estadística. Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas.
Su origen empieza posiblemente en la isla de Cerdeña, donde existen monumentos prehistóricos pertenecientes a los Nuragas, las primeros habitantes de la isla; estos monumentos constan de bloques de basalto superpuestos sin mortero y en cuyas paredes de encontraban grabados toscos signos que han sido interpretados con mucha verosimilidad como muescas que servían para llevar la cuenta del ganado y la caza.
Hacia el año 3.000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.
Los egipcios ya analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir la pirámides.En los antiguos monumentos egipcios se encontraron interesantes documentos en que demuestran la sabia organización y administración de este pueblo; ellos llevaban cuenta de los movimientos poblacionales y continuamente hacían censos. Tal era su dedicación por llevar simpre una relación de todo que hasta tenían a la diosa Safnkit, diosa de los libros y las cuentas. Todo esto era hecho bajo la dirección del Faraón y fue a partir del año 3050 a.C.
En la Biblia observamos en uno de los libros del Pentateuco, bajo el nombre de Números, el censo que realizó Moisés después de la salida de Egipto. Textualmente dice: "Censo de las tribus: El día primero del segundo año después de la salida de Egipto, habló Yavpe a Moisés en el desierto de Sinaí en el tabernáculo de la reunión, diciendo: "Haz un censo general de toda la asamblea de los hijos de Israel, por familias y por linajes, describiendo por cabezas los nombres de todos los varones aptos para el servicio de armas en Israel. En el llibro bíblico Crónicas describe el bienestar material de las diversas tribus judías.
En China existían los censos chinos ordenados por el emperador Tao hacia el año 2.200 a.C.
Posteriormente, hacia el año 500 a.C., se realizaron censos en Roma para conocer la población existente en aquel momento. Se erigió la figura del censor, cuya misión consistía en controlar el número de habitantes y su distribución por los distintos territorios.
En la Edad Media, en el año 762, Carlomagno ordenó la creación de un registro de todas sus propiedades, así como de los bienes de la iglesia.
Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1.066, el rey Guillermo I, el Conquistador, elaboró un catastro que puede considerarse el primero de Europa.
Los Reyes Católicos ordenaron a Alonso de Quintanilla en 1.482 el recuento de fuegos (hogares) de las provincias de Castilla.
En 1.662 un mercader de lencería londinense, John Graunt, publicó un tratado con las observaciones políticas y naturales, donde Graunt pone de manifiesto las cifras brutas de nacimientos y defunciones ocurridas en Londres durante el periodo 1.604-1.661, así como las influencias que ejercían las causas naturales, sociales y políticas de dichos acontecimientos. Puede considerarse el primer trabajo estadístico serio sobre la población.
Curiosamente, Graunt no conocía los trabajos de B. Pascal » (1.623-1.662) ni de C. Huygens (1.629-1.695) sobre estos mismos temas. Un poco más tarde, el astrónomo Edmund Halley (1.656- 1.742) presenta la primera tabla de mortalidad que se puede considerar como base de los estudios contemporáneos. En dicho trabajo se intenta establecer el precio de las anualidades a satisfacer a las compañías de seguros. Es decir, en Londres y en París se estaban construyendo, casi de manera simultánea, las dos disciplinas que actualmente llamamos estadística y probabilidad.
En el siglo XIX, la estadística entra en una nueva fase de su desarrollo con la generalización del método para estudiar fenómenos de las ciencias naturales y sociales. Galton » (1.822-1.911) y Pearson (1.857-1936) se pueden considerar como los padres de la estadística moderna, pues a ellos se debe el paso de la estadística deductiva a la estadística inductiva.
Los fundamentos de la estadística actual y muchos de los métodos de inferencia son debidos a R. A. Fisher. Se interesó primeramente por la eugenesia, lo que le conduce, siguiendo los pasos de Galton a la investigación estadística, sus trabajos culminan con la publicación de la obra Métodos estadísticos para investigaciones. En el aparece la metodología estadística tal y como hoy la conocemos.
A partir de mediados del siglo XX comienza lo que podemos denominar la estadística moderna, uno de los factores determinantes es la aparición y popularización de los computadores. El centro de gravedad de la metodología estadística se empieza a desplazar técnicas de computación intensiva aplicadas a grandes masas de datos, y se empieza a considerar el método estadístico como un proceso iterativo de búsqueda del modelo ideal
Las aplicaciones en este periodo de la Estadística a la Economía conducen a una disciplina con contenido propio: la Econometría. La investigación estadística en problemas militares durante la segunda guerra mundial y los nuevos métodos de programación matemática, dan lugar a la Investigación Operativa
Historia de la Combinatoria
El nacimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de otras ramas de las Matemáticas, tales como el álgebra, teoría de números, y probabilidad.
Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria que han llamado la atención de los matemáticos:
El problema de los cuadrados mágicos, que son matrices de números con la propiedad de que la suma de los elementos de cualquier columna, fila o diagonal es el mismo número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los cuadrados mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines místicos.
Los coeficientes binominales, que son los coeficientes enteros del desarrollo de (a+b) fueron conocidos en el siglo XII.
El triángulo de Pascal » que es una disposición triangular de los coeficientes binominales fue desarrollado en el siglo XIII.
Se puede considerar que en Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal » y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.
El término “combinatoria” tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wihem Leibniz en su Dissertartio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar) de J.Bernouilli » ; este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básica de probabilidad. Para esto fue necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas.
El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de las funciones generadoras. También se le considera el padre de la teoría de grafos por el planteamiento y solución de los problemas de los “Puentes de Konigsberg” usando por primera vez conceptos y métodos de teoría de grafos. Los primeros problemas de teoría de grafos surgieron de la búsqueda de solución a algunos problemas cotidianos y también en el planteamiento de algunos acertijos matemáticos tales como el problema de los Puentes de Konigsberg, la colocación de reinas en un tablero de ajedrez con alguna restricción, problemas de transporte, el problema del viajero, etc....
En Inglaterra a finales del siglo XIX Arthur Cayley (motivado por le problema de calcular el número de isómetros de hidrocarburos saturados) hizo importantes contribuciones a la teoría de enumeración de grafos. Por este tiempo el matemático George Boole usó métodos de combinatoria en conexión con el desarrollo de la lógica simbólica y con las ideas y métodos que Henri Poincaré desarrolló en relación con problemas de topología.
Uno de los factores más importantes que han contribuido al gran desarrollo que ha tenido la combinatoria desde 1920 es la teoría de grafos, la importancia de esta disciplina estriba en el hecho de que los grafos pueden servir como modelos abstractos parar modelar una gran variedad de relaciones entre objetos de un conjunto.